Không gian định chuẩn sinh với chuẩn sinh bởi metric

Cho ( E , d ( . , . ) ) {\displaystyle (E,d(.,.))} là không gian mêtric, ta nói chuẩn ‖ ‖ {\displaystyle \left\Vert \right\Vert } tạo bởi metric d ( . , . ) {\displaystyle d(.,.)} tức là:

‖ x − y ‖ = d ( x , y ) {\displaystyle \left\Vert x-y\right\Vert =d(x,y)} , {\displaystyle \qquad } ∀ x , y ∈ E {\displaystyle \forall x,y\in E}

Do đó, không gian định chuẩn cũng có cơ sở trên không gian tôpô dưới dạng họ các quả cầu mở như trên với chuẩn là các metric tương ứng.

Quả cầu mở, quả cầu đóng

Cho ( E , ‖ ‖ ) {\displaystyle \left(E,\left\Vert \right\Vert \right)} là không gian định chuẩn; a ∈ E {\displaystyle a\in E} và r > 0 {\displaystyle r>0} .

B ( a , r ) = { x ∈ E : ‖ x − a ‖ < r } {\displaystyle B(a,r)=\left\{x\in E:\left\Vert x-a\right\Vert <r\right\}}

B ′ ( a , r ) = { x ∈ E : ‖ x − a ‖ ≤ r } {\displaystyle B'(a,r)=\left\{x\in E:\left\Vert x-a\right\Vert \leq r\right\}}

Khi đó ta gọi B ( a , r ) {\displaystyle B(a,r)} và B ′ ( a , r ) {\displaystyle B'(a,r)} lần lượt là các quả cầu mở và quả cầu đóng tâm a {\displaystyle a} bán kính r trong ( E , ‖ ‖ ) {\displaystyle \left(E,\left\Vert \right\Vert \right)} [2]

Tập mở, tập đóng, tập bị chặn, trù mật

Cho ( E , ‖ ‖ ) {\displaystyle \left(E,\left\Vert \right\Vert \right)} là không gian định chuẩn; a ∈ E {\displaystyle a\in E} và A ⊂ E {\displaystyle A\subset E} .

Ta nói:

A {\displaystyle A} là tập mở trong ( E , ‖ ‖ ) {\displaystyle \left(E,\left\Vert \right\Vert \right)} nếu có họ các quả cầu mở { B ( a i , r i ) } i ∈ I {\displaystyle \lbrace {B(a_{i},r_{i})\rbrace }_{i\in I}} trong ( E , ‖ ‖ ) {\displaystyle \left(E,\left\Vert \right\Vert \right)} sao cho:

A = ∪ i ∈ I B ( a i , r i ) {\displaystyle A=\cup _{i\in I}B(a_{i},r_{i})} .

A {\displaystyle A} là tập đóng trong ( E , ‖ ‖ ) {\displaystyle \left(E,\left\Vert \right\Vert \right)} nếu E − A {\displaystyle E-A} là tập mở trong ( E , ‖ ‖ ) {\displaystyle \left(E,\left\Vert \right\Vert \right)} .

A {\displaystyle A} là tập bị chặn trong ( E , ‖ ‖ ) {\displaystyle \left(E,\left\Vert \right\Vert \right)} nếu có quả cầu đóng B ′ ( a i , r i ) {\displaystyle B'(a_{i},r_{i})} trong ( E , ‖ ‖ ) {\displaystyle \left(E,\left\Vert \right\Vert \right)} sao cho:

A ⊂ B ′ ( a i , r i ) {\displaystyle A\subset B'(a_{i},r_{i})} .[3]

A {\displaystyle A} là tập trù mật trong ( E , ‖ ‖ ) {\displaystyle \left(E,\left\Vert \right\Vert \right)} nếu c l ( A ) = E {\displaystyle cl(A)=E} [4]

Liên tục

Cho A {\displaystyle A} là tập con trong không gian định chuẩn ( E , ‖ ‖ E ) {\displaystyle \left(E,\left\Vert \right\Vert _{E}\right)} x ∈ A {\displaystyle x\in A} và f : A → ( F , ‖ . ‖ F ) {\displaystyle f:A\rightarrow \left(F,\left\Vert .\right\Vert _{F}\right)} .

Ta nói:

f {\displaystyle f} liên tục tại x {\displaystyle x} nếu ∀ ϵ > 0 {\displaystyle \forall \epsilon >0} , ∃ δ > 0 {\displaystyle \exists \delta >0} sao cho ‖ f ( x ) − f ( y ) ‖ < ϵ {\displaystyle \left\Vert f\left(x\right)-f\left(y\right)\right\Vert <\epsilon } , ∀ y ∈ A {\displaystyle \qquad \forall y\in A} , y ∈ B ( x , δ ) {\displaystyle y\in B(x,\delta )}

f {\displaystyle f} liên tục trên A {\displaystyle A} nếu f {\displaystyle f} liên tục tại mọi y ∈ A {\displaystyle y\in A} [5]

Ngoài ra ta còn có định nghĩa liên tục qua khái niệm tập mở như sau:

f {\displaystyle f} liên tục trên A {\displaystyle A} nếu và chỉ nếu với mọi tập mở V {\displaystyle V} trong F {\displaystyle F} có tập mở U {\displaystyle U} trong E {\displaystyle E} sao cho

f − 1 ( V ) = A ∩ U {\displaystyle f^{-1}(V)=A\cap U} [6]

Dãy hội tụ, Cauchy

Cho (E, ||.||) là không gian định chuẩn; f là ánh xạ từ tập các số nguyên dương vào E.

Đặt x n = f ( n ) {\displaystyle x_{n}=f(n)} ; ∀ n ∈ N {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} } và cho a ∈ E {\displaystyle a\in E} .

Khi đó { x n } {\displaystyle \lbrace {x_{n}\rbrace }} là dãy trong ( E , ‖ ‖ ) {\displaystyle \left(E,\left\Vert \right\Vert \right)} .

Dãy { x n } {\displaystyle \lbrace x_{n}{\rbrace }} là dãy hội tụ về a {\displaystyle a} trong E {\displaystyle E} nếu và chỉ nếu:

∀ ϵ > 0 {\displaystyle \forall \epsilon >0} , ta tìm được N ( ϵ ) ∈ N {\displaystyle N(\epsilon )\in \mathbb {N} } sao cho ‖ x n − a ‖ < ϵ ; ∀ n > N ( ϵ ) {\displaystyle \left\Vert x_{n}-a\right\Vert <\epsilon ;\qquad \forall n>N(\epsilon )}

Lúc đó, a {\displaystyle a} là giới hạn của dãy { x n } {\displaystyle \lbrace {x_{n}\rbrace }} .

Dãy { x n } {\displaystyle \lbrace x_{n}{\rbrace }} là dãy Cauchy trong E {\displaystyle E} nếu và chỉ nếu:

∀ ϵ > 0 {\displaystyle \forall \epsilon >0} , ta tìm được N ( ϵ ) ∈ N {\displaystyle N(\epsilon )\in \mathbb {N} } sao cho ‖ x n − x m ‖ < ϵ ; ∀ n > m > N ( ϵ ) {\displaystyle \left\Vert x_{n}-x_{m}\right\Vert <\epsilon ;\qquad \forall n>m>N(\epsilon )}

Nếu dãy { x n } {\displaystyle \lbrace x_{n}{\rbrace }} là dãy hội tụ trong E {\displaystyle E} thì nó sẽ Cauchy trong E {\displaystyle E} .

Nếu mọi dãy { x n } {\displaystyle \lbrace x_{n}{\rbrace }} Cauchy đều hội tụ trong không gian định chuẩn ( E , ‖ ‖ ) {\displaystyle \left(E,\left\Vert \right\Vert \right)} thì E {\displaystyle E} là không gian Banach.[7]

Ví dụ:

Dãy { 1 n : n ∈ Z + } {\displaystyle \lbrace {{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {Z} ^{+}\rbrace }} trong R {\displaystyle \mathbb {R} } \0 là dãy Cauchy nhưng không hội tụ trong R {\displaystyle \mathbb {R} } \ 0 với không gian định chuẩn ( R , ‖ ‖ ) {\displaystyle \left(\mathbb {R} ,\left\Vert \right\Vert \right)} ( ‖ x − y ‖ = | x − y | {\displaystyle \left\Vert x-y\right\Vert =|x-y|} ).

Chuẩn tương đương

Tương tự như metric tương đương trên không gian metric, ta cũng có khái niệm chuẩn tương đương như sau:Cho 2 chuẩn ‖ . ‖ 1 , ‖ . ‖ 2 {\displaystyle \left\Vert .\right\Vert _{1},\left\Vert .\right\Vert _{2}} trên cùng không gian vectơ E.

Ta nói 2 chuẩn này là tương đương nếu tồn tại α , β > 0 {\displaystyle \alpha ,\beta >0} sao cho:

α ‖ u ‖ 1 ≤ ‖ u ‖ 2 ≤ β ‖ u ‖ 1 {\displaystyle \alpha \left\Vert u\right\Vert _{1}\leq \left\Vert u\right\Vert _{2}\leq \beta \left\Vert u\right\Vert _{1}}

với mọi u ∈ E {\displaystyle u\in E} [8]

Ví dụVới các chuẩn sau trên R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} sau:

‖ x ‖ 2 = ( ∑ k = 1 n x k 2 ) 1 / 2 {\displaystyle \left\Vert x\right\Vert _{2}=\left({\overset {n}{\underset {k=1}{\sum }}}x_{k}^{2}\right)^{1/2}} ‖ x ‖ 1 = ∑ k = 1 n | x k | {\displaystyle \left\Vert x\right\Vert _{1}={\overset {n}{\underset {k=1}{\sum }}}\left|x_{k}\right|} ‖ x ‖ ∞ = max k = 1 , 2 , . . . , n | x k | {\displaystyle \left\Vert x\right\Vert _{\infty }={\underset {k=1,2,...,n}{\max }}\left|x_{k}\right|}

trong đó x = ( x 1 , . . . , x n ) ∈ R n {\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} . Ta có:

‖ x ‖ ∞ ≤ ‖ x ‖ 2 ≤ ‖ x ‖ 1 ≤ n ‖ x ‖ ∞ {\displaystyle \left\Vert x\right\Vert _{\infty }\leq \left\Vert x\right\Vert _{2}\leq \left\Vert x\right\Vert _{1}\leq n\left\Vert x\right\Vert _{\infty }}